如下图所示,电源ε,电阻R,电感L,开关S,典型的RL电路。
RL串联电路t=0时,我闭合开关,电流想要增长,电感会说:"根据楞次定律,我不想快速的电流变化,慢点!"电感在和流过它的电流作斗争,但总有一个时刻,电流将达到最大值。把电感看作没有电阻,那么电流最大值为ε/R,所以不用计算,可以画出电流图如下:
根据电磁感应定律(不是基尔霍夫定律,这里时非保守场),从电源开始,逆时针走一圈,可以得到如下微分方程
其中
为感应电动势。解这个微分方程(解法可以参考高等数学,具体不说,不影响理解)
其中
当t=0时候,电流为0,当t趋向无穷大时候,I为最大值ε/R。
当t=L/R时候,I(t)= ε/R*(1-1/e)=0.63*(ε/R),即为电流最大值的63%。
之前说过RL电路,今天聊聊RC电路。如下图所示,电源ε,电阻R,电容C,开关S,典型的RC电路。
一个电容器,如果带1库的电量时两级间的电势差是1伏,这个电容器的电容就是1法拉,即:C=Q/U 。但电容的大小不是由Q(带电量)或U(电压)决定的,即电容的决定式为:C=εS/4πkd 。其中,ε是一个常数,S为电容极板的正对面积,d为电容极板的距离,k则是静电力常量。常见的平行板电容器,电容为C=εS/d(ε为极板间介质的介电常数,S为极板面积,d为极板间的距离)。
定义式: C=Q/U,单位法拉F
t=0时,我闭合开关,电流想要增长, 想要达到
此时电容开始充电
根据基尔霍夫定律,可以写出方程:
解此方程
,其中Q=cε,电容在此电路中拥有的最大电量。
根据公式C=Q/U,可以得到
可以画出电流图
当t=0时候,q=0,Vc=0,I=Io=ε/R;当t趋向无穷大时候,q=Q,Vc=ε,I=0。
之前说过RL与RC电路,今天聊聊RLC电路。如下图所示,这里电源为一个交流电源,电阻R,电感L,电容C,开关S,典型的RLC串联电路。
图2:RLC串联电流就是电流大小和方向不断变化的电源,我们日常所用的220V家用电源,就是交流电源。
图3:交流电源解出此微分方程(解法过程如果想要深入了解,请关注高等数学上册,嘿嘿)
将交流电源Vt带入方程考虑电容初始电量Q为0,那么电流可以表达为:
所以上述方程可以重新写为:
2阶微分方程得出一个稳态解如下:
其中,
根据上述方程解,可以得出电流解
简单的导数,想深究看高度数学导数章节顺便把电阻、电容、电感上电压求出来,如下:
可以看出,电流Io为固定值,不随角频率w变化而变化,当角频率w为0时候,如下图所示,电感电压领先电流与电阻电压90度,电容电压落后电流90度。这也是专家老师们,常说的相位关系等等哦哦哦哦。
这个和我们的经验一样,电感阻碍电流的突变,电容阻碍电压的突变!
表示成向量方式:
大家有没有想过,如果Xl=Xc的话,这个公式是不是就简单很多啦。不错,当
的时候,电流Io可以写成
此时为Io的最大值,画出方程Io随着w的变化图,如下
当XL>XC时,X>0,R>0,电路呈感性;
当XL<XC时,X<0,R>0,电路呈容性;
当XL=XC时,X=0,R>0,电路呈电阻性,称为串联谐振状态。
这种带公式的文章真码的累啊,也算生活中学习中的记录吧。
本文由梁桂钊于2023-08-30发表在梁桂钊的博客,如有疑问,请联系我们。
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